Алексей Иванович родился в селе Ямаши Альметьевского района.

В 1986 году окончил Альметьевский строительный техникум по специальности «Техническое обслуживание и ремонт автомобилей», в 2004 г. – Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический институт по специальности «Государственное и муниципальное управление», в 2016 году – Восточную экономико-юридическую гуманитарную академию по специальности «Экономика».

Трудовой путь начал в 1986 году слесарем-ремонтником СМУ № 4 «Рязаньтрубопроводстрой». В 1988 году продолжил работу трактористом колхоза «Победитель», а с 1990 года – военруком и учителем физкультуры Ямашинской средней школы.

С 1992 года Алексей Иванович на руководящих должностях – заведующий пекарней, заместитель директора по коммерческой части, главный инженер совхоза «Ямашинский», в 2000 году – глава Ямашинского Совета местного самоуправления, в 2007 г. – начальник организационного отдела Совета Альметьевского муниципального района, заместитель руководителя исполнительного комитета Альметьевского муниципального района по работе с сельскими поселениями.

Трудовая деятельность Алексея Грушина в компании «СМП-Нефтегаз» началась в январе 2017 года в должности начальника управления персоналом. С сентября 2019 он был назначен заместителем генерального директора АО им. Н.Е. Токарликова, а через месяц, по предложению руководства «СМП — Нефтегаз», возглавил предприятие.

Алексей Иванович имеет множество наград: медали — «В память 1000-летия Казани», «За заслуги в проведении Всероссийской переписи населения», «60-летие города Альметьевска», «За труды в проведении Всероссийской сельскохозяйственной переписи», «За заслуги в развитии местного самоуправления в РТ», юбилейная медаль Русской Православной Церкви «В память 1000-летия преставления равноапостольного великого князя Владимира»; Почетные грамоты Министерства сельского хозяйства и продовольствия РТ, Совета и Исполнительного комитета Альметьевского муниципального района, ОАО «Татнефть», благодарственные письма.